Adela Maria Trepat i Massó neix el 2 de maig de 1905 a Barcelona. És la filla gran d'Adela Massó Escofet i Pere Trepat Galceran, professor de francès, membre fundador de l'Institut Joan Maragall i col·laborador a La Vanguardia.

Fa el batxillerat a l'Institut General i Tècnic de Barcelona i estudia Filosofia i Lletres a la Universitat de Barcelona, amb el reconeixement del premi extraordinari de llicenciatura. El 1926, obté el doctorat amb la tesi Estudio del léxico de Lucrecio: ensayo sobre los libros I y II. Als vint-i-dos anys, comença a treballar a la Fundació Bernat Metge com a bibliotecària i assisteix als seminaris de llengua i literatura llatina de Joaquim Balcells i els de grega de Carles Riba. Entre el 1925 i el 1928, imparteix classes de francès com a ajudant interina a l'institut on ella havia estudiat el batxillerat i fa d'ajudant a la càtedra de Llengua i Literatura llatines de la Universitat de Barcelona els cursos 1926-27 i 1927-28. El 1928, supera les oposicions –quedant en primera posició– aconseguint una càtedra de francès a l'Institut Nacional de Segon Ensenyament de Reus. El curs 1929-1930 és nomenada catedràtica al nou Institut Nacional Femení Infanta Cristina de Barcelona –que el 1931 passa a ser mixt i a dir-se Institut Maragall– i a finals de 1931, al nou Institut-Escola de la Generalitat.

Gran coneixedora de llengües clàssiques –però també de modernes com el francès, l'alemany, l'anglès i l'italià–, col·labora amb Pere Bosch i Gimpera i Adolf Schulten en la Fontes Hispaniae Antiquae (1922-1987), una obra que recull textos de l'Antiguitat que es refereixen a la península Ibèrica, els comenta i els tradueix al castellà. Entre el 1929 i el 1933 fa diverses estades a Berlín i a Frankfurt, gràcies a ajuts de la Fundació Cambó, de la universitat i de la Junta para la Ampliación de Estudios. Entre d'altres, estudia amb l'hel·lenista Ulrich Wilamowitz-Moellendorf i història i epigrafia amb Ernst Stein i Lother Wickert. Col·labora amb el Corpus Inscriptionum Latinarum d'Ernst Gamillscheq i el 1931 pronuncia la conferència "Els darrers resultats dels treballs d'investigació arqueologicofilològica a Catalunya" a l'Institut d'Arqueologia de la Universitat de Berlín. Les seves estades a Alemanya acaben davant el perill de l'ascensió de Hitler al poder. En els cursos 1933-34 i 1934-35 imparteix epigrafia com a professora agregada a la Universitat Autònoma de Barcelona –nom que rep la Universitat de Barcelona entre el 1933 i el 1939.

Destaca la traducció que fa de les Heroides (1927) i les Metamorfosis (1929-1932) d'Ovidi, juntament amb Anna Maria de Saavedra, per a la Col·lecció Fundació Bernat Metge. Traslladen el vers a una prosa poètica que flueix en un català elegant i evocador. Els crítics de l'època, a més de lloar-ne la traducció, no estalvien el comentari sobre el gènere de les autores, fins i tot per aconsellar que les obres importants no haurien de ser traduïdes per dones –"No és que ens sembli precisament escandalós, però el contrari fóra més escaient, sobretot tractant-se d'una institució tan seriosa com la Fundació Bernat Metge", adverteix Xavier Isart en una ressenya a El Matí del 1931.

El 1934, Trepat es casa amb el professor de ciències Àngel Galisteo i Guallart, amb qui ha coincidit a la universitat i a l'Institut-Escola, i el 1937 tenen una filla. Després de la guerra, se li obren dos expedients de depuració: per fer propaganda a favor de la UGT i per fer polítiques catalanistes. Els supera i, tot i que el curs 1946-47 encara fa un curs d'epigrafia a la universitat, roman a l'Institut Maragall com a professora de francès i d'alemany. El 1956, n'esdevé la vicedirectora i el 1960, la directora. Es preocupa per l'ensenyament de llengües i impulsa projectes innovadors.

Arran d'una complicació postquirúrgica, mor el 21 d'agost de 1964.